Asal sayılar nedir, ne işe yarar, ne kadar var?


Yalnızca 1’e ve kendine bölünen sayılara asal sayılar denilir. Zaten tüm sayılar için de 1 ve kendisi bölendir, ama asal olmayanların başka bölenleri de mevcut. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,… ve bu gibi sayılar ilk asallardır. 2 sayısı asal olan tek çift sayıdır. 1 sayısının tanımı sağlamasına rağmen asal sayılmamasının nedeni ise, asal çarpanlara ayırma hakkında teoremin “düzgün olmasını” sağlamaktır. Malumdur ki, her sayı ancak bir biçimde (sıra farkı olabilir) asal çarpanlara ayrılır. Bu teorem sayılar teorisinde temel teorem olarak geçiyor.

Şimdi 1’i asal hesap etsek, örneğin 15 sayısı için 15 = 3×5 = 1x3x5 gibi iki farklı ayrılış buluruz ki, burada da 1’lerin sayısı artırılarak, yeni ayrılışlar da yazabiliriz. Demek ki, asal sayılar, bir nevi öteki sayıları oluşturmak için birer atomdurlar denilebilir. Ve doğal olarak bu atom-tuğlaların sayısı merak edilir. Bu merak 2300 yıl önce Öklid’in meşhur “Elementler” kitabında giderilmiştir. Buyurun siz de bakın:

Teorem: Asal sayılar kümesi sonlu değildir. İspat: Diyelim ki, sonludur ve sonuncu asal sayı p’dir. Bakalım bundan ne çıkar.

q = 2.3.5.7…p +1 sayısına göz atalım. Yani tüm asalların çarpımına (sayısını sonlu hesap ettik ya) 1 sayısını ekledik. Göründüğü üzere bu sayı bizim asallardan hiç birine bölünmüyor (kalan hep 1). O halde iki seçenek var, ya bu sayı kendisi asaldır veya bizim bildiğimiz asalların dışında olan başka bir asala bölünür. Her iki halde sonlu asal sayılar kümemiz genişlemeye mecbur ve böylece sürekli genişlemeye maruz kalarak durmadan çoğalıyor. Durmadan çoğalmak ise burada sonlu olmamak anlamına geliyor. Normalde lafı böyle bitiriyorlar: gelinen sonuç ters faraziyemize (asal sayılar sonludurlar) ters düştüğünden, faraziyemiz yanlış, teoremin hükmü ise doğrudur. Artık bir incimiz var!

Asal sayıların sonsuz olması önemli bir mesele olduğundan bu konuda bir teorem daha verelim. Teorem: n! + 1 sayısının en küçük böleni n’den büyük olan asal sayıdır. İspat: Eğer bu sayının böleni yoksa, yani kendisi asal ise, ispat biter, çünkü onun n’den büyük olması açık. Eğer çarpanları varsa ve onların en küçüğü p ise, p’nin n’den büyük olacağı açık. Gösterelim ki, p asal olmak zorunda. Aksi halde, eğer a < b olmakla p = ab olsaydı, bizim n! + 1 sayımız p’den küçük olan a’ya da bölünürdü ki, bu da p’nin en küçük bölen olması faraziyemize ters düşüyor. Demek p asaldır.

Sonuç olarak diyebiliriz ki, [n, n! +1] aralığında en azı bir asal sayı vardır. Şimdi eğer reel ekseni 2,2! + 1, (2! + 1)! + 1, ((2! + 1)! + 1)! + 1,… gibi noktalarla sonsuz sayıda aralıklara ayırsak, her aralıkta en az bir asal sayı olduğundan, asal sayıların da sonsuz olduğu sonucuna ulaşırız. Asal sayıların sonsuz sayıda olmasının bir kanıtı da ispatsız vereceğimiz aşağıdaki teoremde saklıdır. Teorem: Keyfi n doğal sayısı için [n, 2n] aralığında en az bir tane asal sayı vardır. Buna göre [2, 4], [4, 8], [8, 16], [16, 32] gibi sonsuz sayıda aralıkların her birinde en az bir asal sayı olduğundan, yine asalların sonlu olmayacağını kanıtlamış oluruz.


0 Comments

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.